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      泊松分布及在R語言中的實現

      減小字體 增大字體 作者:本站  來源:本站整理  發布時間:2020-07-01 07:33:37

      泊松分布(Poisson Distribution)是一種離散型概率分布。泊松分布是描述某一特定時間或空間段內,某一事件發生的次數的分布。如機器每周發生故障的次數,某醫院婦產科2小時內出生的嬰兒個數,某服務臺在某時間段內到達的顧客次數等。

      一、泊松分布律

      泊松(Poisson)分布的分布律為:

      泊松分布公式

      其中,則稱X服從參數為泊松分布,記為

      這里的P即為等同區間內事件發生k次的概率;

      X:事件次數的變量;

      k:事件發生的次數,取值為0,1,2,3...

      λ:區間內事件發生的平均次數(數學期望)

      同時,顯然有:

      二、泊松分布的數學期望與方差

      三、適用條件

      (1)事件發生是小概率事件;

      (2)事件的發生是相互獨立的;

      (3)事件在任意兩個等同的區間內發生的概率是穩定的。

      四、泊松分布的特征

      (1)泊松分布是一種描述和分析稀有事件的概率分布。要觀察到這類事件,樣本含量n必須很大。

      (2)λ是泊松分布所依賴的唯一參數。λ值愈小,分布愈偏倚,隨著λ的增大,分布趨于對稱。

      (3)當λ = 20時,泊松分布接近于正態分布;當λ = 50時,可以認為泊松分布呈正態分布。在實際工作中,當λ≥20時就可以用正態分布來近似地處理泊松分布的問題。

      五、R語言中的相關函數與實例

      1、相關函數

      在R中,pois表示泊松分布,加上不同的前綴表示不同的函數,加上前綴d表示概率密度函數,加上前綴p表示分布函數,加前綴q表示分位函數,加前綴r表示隨機生成數,各函數的語法格式如下:

      dpois( x, lambda, log = FALSE )   #發生x次隨機事件的概率

      ppois( q, lambda, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE ) # 至多發生q次事件的累計概率

      qpois( p, lambda, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE ) #在p概率下事件發生的次數

      rpois( n, lambda ) #重復n組試驗,每組發生隨機事件的次數

      函數中各參數的含義:

      • x :非負整數向量,事件發生的次數;
      • q:數值向量;
      • p:概率值向量
      • n:整數值,隨機試驗的次數;
      • lambda:非負數值,事件發生的平均次數;
      • log,log.p:邏輯值,如果為TRUE,則概率p以log(p)的形式給出
      • lower.tail:邏輯值,如果為TRUE(默認值),則概率是p[x≤ x],若為 FALSE 則為p[X>x]。

      幾點說明:

      (1)若x為非整數,dpois 的結果將會使0,并給出一個警告錯誤;

      (2)分位數是右連續的,qpois(p, lambda) 表示x是最小整數的情況:P(X ≤ x) ≥ p;

      (3)設置lower.tail = FALSE,可以得到更加精確的結果,而lower.tail = TRUE將返回1;

      (4)無效的lambda值,將會返回NaN,并給出警告錯誤。

      2、使用示例

      (1)某銀行,顧客到達柜臺的平均值是5分鐘3.2名,計算:①接下來5分鐘內,有0名顧客、1名顧客和2名顧客到達的概率分別是多少?②在5分鐘內至多有7名顧客到達的概率是多少?③在5分鐘內有7名以上顧客到達的概率是多少?④在90%的概率下,5分鐘內至多有幾名顧客到達?

      編寫R程序如下:

      lmbda <- 3.2
      # 5分鐘內0名、1名、2名顧客的概率
      dpois(0:2, lmbda)

      # 5分鐘至多7名顧客的概率
      ppois(7, lmbda)

      # 5分鐘有7名以上顧客到達的概率
      1ppois(7, lmbda)

      # 90%概率下,5分鐘內至多有幾名顧客到達
      qpois(0.9lmbda)

      運行結果如下圖所示:

      R 泊松分布的例子

      (2)某工廠某種設備每周的平均故障臺數為2.3臺,求下周該設備沒有發生故障的概率,下周至多有3臺發生故障的概率;重復模擬10組試驗,每組發生故障的臺數是多少

      編寫R程序如下:

      lambda <- 2.3
      # 下周沒有設備發生故障的概率
      dpois(0, lambda)

      #下周至多有3臺設備發生故障的概率
      ppois(3, lambda)

      #重復1000組試驗,每組發生故障的臺數
      rpois(10, lambda)

      在R中運行的結果如下圖所示:

      R 泊松分布示例

      我們也可以使用R繪制出泊松分布的概率密度圖,下例演示了均值為2,重復1000次情況下的直方圖。

      x <- rpois(1000, 2)
      hist(x)

      繪圖結果之一如下(因為隨機生成,每次的結果并不一定相同):

      泊松分布圖
       

      本文(完)


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