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      均匀分布及在R语言中的实现

      减小字体 增大字体 作者:本站  来源:本站整理  发布时间:2020-07-18 13:25:48

      均匀分布也称矩形分布,是最简单的一种连续型分布。

      一、均匀分布

      若随机变量X的概率密度函数为:

      均匀分布概率函数

      则称X服从区间[a, b]上的均匀分布,记为X~U[a, b]。

      概率密度图像如下图所示:

      均匀分布概率函数图像

      其分布函数为:

      均匀分布函数

      分布函数是概率密度函数从负无穷到正无穷上的积分;在坐标轴上,概率密度函数的函数值y表示落在x点上的概率为y;分布函数的函数值y则表示x落在区间(-∞,+∞)上的概率。

      分布函数图像如下图所示:

      均匀分布函数图像

      均匀分布的数学期望与方差分别为:

      均匀分布数学期望公式

      均匀分布方差

      二、R语言与均匀分布相关的函数

      在R中,unif是用来进行均匀分布分析的,在其前面加上不同的前缀表示不同的函数,各函数的使用格式如下所示:

      dunif(x, min = 0, max = 1, log = FALSE)  # 分布密度
      punif(q, min = 0, max = 1, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)  # 分布函数
      qunif(p, min = 0, max = 1, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)  # 分位数函数
      runif(n, min = 0, max = 1)  # 随机数产生函数

      各参数的主要含义如下:

      x, q : 数值向量

      p : 概率向量

      n : 观测次数值

      min, max : 均匀分布的下限和上限,必须是有限的值,min相当于密度函数或分布函数中的a,默认值为0,max相当于b,默认值为1;

      log, log.p: 逻辑值,默认为FALSE.指定为TRUE时,概率值p是以log(p)给出的;

      lower.tail : 逻辑值,默认为TRUE. 指定为TRUE时,概率是P [ X ≤ x ],否则是 P [ X > x ].

      三、均匀分布使用案例

      设电阻R是随机变量,其值均匀分布在900Ω~1100Ω。

      (1)求该区间内的分布密度;

      (2)求电阻不超过950Ω的概率;

      (3)求电阻超过950Ω的概率;

      (4)在90%概率下,电阻值最大为多少;

      (5)随机生成5个符合该均匀分布的电阻值。

      由题意可知:其分布函数 f(r) = 1/(1100-900) = 1/200 ( 900 ≤ r ≤ 1100)

      (1)因为是均匀分布,使用R语言进行求值时,选取[900, 1100]中任何一个值,其概率密度值都是一样的。

      (2)即求 P(r ≤ 950)的概率,使用分布函数可以方便求出;

      (3)即求p(r>950)的概率,可以使用 1 - p(r≤950) 计算得出。

      (4)实际上相当于“电阻值不大于r的概率是90%,求x”,可以使用分位函数来求;

      (5)使用runif()函数可以获得这样的随机值。

      编写R程序如下:

      a <- 900
      b <- 1100

      # 计算概率密度
      f <- dunif(900, a, b
      cat("概率密度为:"f, "\n")

      p <- punif(950, a, b)
      cat("电阻不超过950欧姆的概率为:", p, "\n")

      p <- 1 - punif(950, a, b)
      cat("电阻超过950欧姆的概率为:", p, "\n")

      R <- qunif(0.9, a, b)
      cat("90%概率下,电阻值最大为:", R, "\n")

      # 随机生成5个符合该均匀分布的随机电阻值
      runif(5, a, b)

      在R运行结果如下图所示:

      R语言实现均匀分布

      本文(完)


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